В прошлом месяце математик Григорий Перельман прочитал в Массачусетском технологическом институте курс лекций с безобидным названием: "Поток Риччи и геометризация трехмерных многообразий". Название "Я претендую на премию в 1 миллион долларов", которое было бы здесь не менее уместно, математики, люди по своей натуре скромные, сочли бы излишне откровенным. Перельман утверждает, что ему удалось доказать гипотезу геометризации Терстона - смелое утверждение о свойствах трехмерных пространств, из которого в частности следует, что гипотеза Пуанкаре, выдвинутая сто лет назад, верна. А математику, доказавшему гипотезу Пуанкаре, Фонд Клэя должен выплатить премию в миллион долларов. Если Перельман прав - а многие его коллеги в это верят, - значит, он совершил настоящий прорыв, блестяще использовав методы одного раздела математики для решения задачи из другого ее раздела.

В этой истории есть только одна загвоздка: Перельману почти 40 лет.

В представлении большинства 40-летний человек может с той же вероятностью быть продуктивным математиком, с какой он может выступать центровым в крикетной команде высшей лиги или представлять интерес для публики как рок-музыкант. Считается, что в математике прогресс достигается не за счет опыта и десятилетий упорного труда, а благодаря мистическим озарениям, случающимся у прирожденных гениев. Вспомните молодого Джона Нэша из "Игр разума", который открыл уравнение Нэша в прокуренном баре, куда его легкомысленные одноклассники пришли подцеплять девушек, и сравните его со стареющим математиком из "Доказательства", который "до двадцати двух лет дважды совершил революцию в математике".

Нетрудно догадаться, откуда взялся этот стереотип, - история математики усеяна трупами блистательных молодых людей. Эварист Галуа, Готхольд Эйзенштейн и Нильс Абель - математики столь исключительного значения, что их имена, подобно имени Кафки, стали нарицательными, - не дожили до 30 лет. Галуа заложил основы современной алгебры, когда был подростком, после чего успел еще стать известным политическим радикалом, отсидеть девять месяцев в тюрьме и завести роман с дочерью тюремного врача, в связи с чем и был убит на дуэли в 21 год. Г.Гарди, британский математик, знаменитый своим вкладом в теорию чисел, писал в своем "Оправдании математика", одной из самых читаемых книг о природе и характере математики: "Ни один математик ни в коем случае не должен забывать, что математика, в большей степени чем любая другая наука или искусство, - это дело молодых". ¹

За идею об озарении как основе математического творчества нам следует поблагодарить и самого Анри Пуанкаре. Пуанкаре не только был грандиозной фигурой в математике конца XIX столетия, но и писал пользовавшиеся успехом книги по науке, творчеству и философии. В своей знаменитой лекции, прочитанной в 1908 году для парижского Психологического общества, он вспоминает, как в 28 лет открыл закон, легший в основу теории автоморфных функций.

Как раз в то время я выехал из Кана, где тогда жил, на геологическую экскурсию, организованную Горным институтом. Дорожные впечатления заставили меня позабыть о своих математических трудах. По прибытии в Кутанс нам предстояло пересесть в омнибус. И вот в тот момент, когда я занес ногу на ступеньку омнибуса, меня осенила идея - не имевшая никакой видимой связи с тем, о чем я думал всю дорогу, - что преобразования, которыми я воспользовался для определения функций Фукса, тождественны преобразованиям неевклидовой геометрии. Я не проверил свою догадку - у меня не было времени, поскольку, едва усевшись в омнибус, я продолжил прерванный разговор, - но я чувствовал, что она верна. Вернувшись в Кан, я для успокоения совести убедился в этом на досуге.

История Пуанкаре - самое знаменитое современное описание процесса математического творчества. (Если бы мы устроили конкурс, в котором могли бы поучаствовать ученые всех времен, оно бы уступило первое место историям о яблоке Ньютона и ванне Архимеда, которые в сущности свидетельствуют о том же.) Пуанкаре признает, что математика - это не только моменты озарения, но и месяцы терпеливых дедуктивных рассуждений. "И логика, и интуиция, - пишет он, - играют свою собственную неотъемлемую роль. И то, и другое необходимо". И все же ему не совсем удается скрыть, что тяготам логических построений он предпочитает интуитивный скачок.

Молодой гений, миг прозрения. Эти образы формируют романтическое представление о математике как о пассивном проводнике вдохновения. Вот что писал об одном из собственных триумфов Карл Фридрих Гаусс: "Я победил, но не за счет своих мучительных усилий, а благодаря милости Божьей. Это было так, словно вдруг сверкнула молния - и загадка оказалась разгаданной".

Каждый действующий математик чувствует, насколько правдивы истории Гарди, Пуанкаре и Гаусса. И все же: есть Перельман, которому без малого 40, и есть 41-летний Эндрю Уайлс, который вот-вот докажет последнюю теорему Ферма.

Что изменилось? Во-первых, в наши дни математику приходится учиться гораздо больше, чем 100 лет назад. Программа последнего курса Принстонского университета подводит студентов к той стадии, когда наука становится искусством, - как это было примерно в то время, когда умер Пуанкаре (1912 г.). Года изнурительного труда в аспирантуре хватает на то, чтобы перенестись примерно в 1950 год. А до возраста, в котором нынешний студент-математик впервые открывает современный научный журнал, Галуа не дожил два года. В литературе можно создать великое произведение, не обладая глубоким знанием того, что было написано раньше. В математике - нельзя, уже нельзя; и, возможно, нельзя будет уже никогда.

Гипотеза Пуанкаре описывает свойства некоторых трехмерных тел. Мы называем тело просто соединенным, если любую петлю, нарисованную на его поверхности, можно, не отрывая от поверхности, стянуть в точку. К примеру, поверхность сферы - это просто соединенное тело, а поверхность пончика - нет, поскольку петлю, проходящую через дырку в центре, нельзя стянуть в точку, не оторвав от поверхности. Читателю несложно будет заметить, что описанное выше свойство не зависит от размера тела и не меняется, когда тело сгибают, скручивают или деформируют как-нибудь иначе. Вы также можете заметить, что это довольно устойчивое свойство. Изучением таких устойчивых свойств тел занимается раздел математики под названием топология, который Пуанкаре, можно сказать, изобрел в конце XIX века. (Да простят меня читатели, которым известны другие нематематические описания рассматриваемого свойства, за то, что я представил все так, будто топология сводится к изучению сфер и пончиков. Уверяю вас, есть и другие тела, просто о них трудней рассказывать.)

Пуанкаре удалось доказать, что если двухмерная поверхность просто соединена, то она обязательно является согнутой, скрученной или каким-то другим образом деформированной модификацией сферы. Его гипотеза - сформулированная так пространно, что я не советую вам и думать о ней без дополнительного ознакомления с темой, - состоит в том, что это справедливо и для трехмерных тел. Пуанкаре не смог бы сформулировать свою гипотезу, если б до этого не посвятил многие годы изучению топологии, не доказал бы очень тщательно ряд теорем и не выдвинул другие гипотезы по той же теме - их он проверил и убедился, что они неверны. Не смог бы он и сделать такое смелое утверждение, не обладай он фантастической интуицией, которую ценил превыше всего. Лишь при наличии обеих составляющих - дедукции и озарения, опытности и юношеской дерзости - в математике рождается новое; так это новое создал Перельман и так оно родилось в тот день, когда Пуанкаре сформулировал свою гипотезу. Ему было 50 лет.

¹ Под "молодыми" Гарди здесь, скорее всего, подразумевает тех, кому меньше 50-ти. У самого Гарди наиболее плодотворный период начался в 34 года, когда он стал сотрудничать с Дж. Литтлвудом. (В то время один математик сказал: "Есть всего три действительно великих английских математика: Гарди, Литтлвуд и Гарди-Литтлвуд".) Впоследствии граница "молодости" снизилась; недавно у Chronicle of Higher Education возник вопрос: "Действительно ли у математиков время расцвета заканчивается к 35 годам?"