Русский Журнал / Круг чтения /
www.russ.ru/krug/20021008.html

Еще раз о теореме Геделя
Владимир Губайловский

Дата публикации:  8 Октября 2002

"...Не совпадают друг с другом два Лобачевских - истинный и отраженный в бытовом сознании. Имя Лобачевского и термин "геометрия Лобачевского" знают практически все. Но, если спросить, в чем состоит вклад Лобачевского в науку, в подавляющем большинстве случаев ответ будет таким: "Лобачевский доказал, что параллельные прямые пересекаются" (в более редком и изысканном варианте: "Лобачевский открыл, что параллельные прямые могут и пересечься"). Тогда надо немедленно задать второй вопрос: "А что такое параллельные прямые?" - и получить ответ: "Параллельные - это такие прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются". После чего можно пытаться (с успехом или без оного) убедить своего собеседника в несовместимости между собой двух его ответов.

В качестве вступления в дискуссию о Лобачевском можно также спросить, в чем состоит аксиома о параллельных. Большинство... сформулирует эту аксиому так: "через точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой". На самом деле сформулированное утверждение является не аксиомой, а несложно доказываемой теоремой. Аксиома же о параллельных состоит в том, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной исходной прямой. Причину такого искажения объясняет элементарный филологический анализ. Дело в том, что в средней школе, для простоты, обычно внушают такую формулировку: ...можно провести одну и только одну прямую..., не заостряя внимания на том, что оборот можно провести одну выражает здесь теорему, а можно провести только одну - аксиому. В результате в сознании остается более простая идея о возможности, а более сложная идея о единственности теряется. Но сказанное никак не объясняет всеобщего заблуждения о сущности сделанного Лобачевским открытия; причины этого заблуждения так и остаются загадкой".

Я начал свой комментарий к статье Михаила Кордонского "Конец истины", посвященной книге Дагласа Р.Хофштадтера "Гедель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда. Метафорическая фуга о разуме и машинах в духе Льюиса Кэролла" с длинной цитаты из статьи Владимира Андреевича Успенского "Привычные вывихи".

Владимир Андреевич Успенский - логик с мировым именем, заведующий кафедрой математической логики и теории алгоритмов мехмата МГУ. На этой самой кафедре я имел честь когда-то обучаться. Это было довольно давно, и логик из меня не вышел, но кое-что я все-таки запомнил. Например, то, что рассуждая о математических проблемах, необходимо отвечать за свои слова, иначе эти слова мстят за невнимание и небрежение, поскольку имеют точное значение, а не то размытое и нечеткое, которое есть у слов естественного языка.

Разница между "одно" и "одно и только одно" в примере, приводимом Успенским, настолько существенна, что превращает теорему - некоторое формальное устанавливаемое следствие, а таких следствий, вообще говоря, бесконечно много, - в аксиому - беспредпосылочную сущность (Платон "Государство"), одно из очень немногих оснований формального мира.

Говоря о "привычных семантических вывихах", Успенский привел пример геометрии Лобачевского. С не меньшим основанием он мог бы привести и теорему Геделя. Это точно такой же "привычный семантический вывих", который в бытовом сознании звучит именно так, как его в конце концов формулирует Кордонский: Гедель доказал, "строжайшими средствами сначала теории чисел, а потом математической логики", что ничего доказать нельзя. То, что это высказывание внутренне противоречиво, чувствует и сам автор "Конца истины": "после Геделя ничего нельзя утверждать наверняка". Стало быть, и все высказывания самого Кордонского тоже ничего не значат. Интересный вывод. Так зачем же тогда писать, бумагу переводить?

"Вульгаризация" или "популяризация" при изложении тонких математических теорий не всегда допустима, поскольку она может привести к полной потере достоверности. Мы не можем измерять внутримолекулярные расстояния линейкой с делениями в один миллиметр - при таких измерениях все эти расстояния равны нулю.

Кордонский формулирует теорему Геделя (необходимо добавлять "о неполноте", поскольку Геделю принадлежит много теорем, и среди них есть "Теорема Геделя о полноте", например) в начале раздела своей статьи, который называется "Так что же такое эта теорема Геделя?": "Все непротиворечивые аксиоматические формулировки теории чисел содержат неразрешимые суждения".

Чтобы принять или не принять такую формулировку, нужно последовательно и строго определить, что такое: непротиворечивость аксиоматики, теория чисел, неразрешимость суждения, и до всего этого - что же такое суждение как таковое. И все это сделать можно, и более того, в любой работе по логике непременно делается.

Формулировка Кордонского - это не более чем свободный набросок, который может быть конкретизирован и вполне корректно, и так, как это делает Кордонский: "В каждой полной системе логических утверждений обязательно существует хотя бы одно, которое невозможно ни опровергнуть, ни доказать". Но полнота логического исчисления значит в точности следующее: в нем доказуемы все истинные суждения. То есть не существует ни одного, "которое невозможно ни опровергнуть, ни доказать". Так что или система полная, или в ней есть недоказуемые суждения - но никак ни то и другое сразу.

Кордонский призывает науку, чтобы она всей своей мощью доказала собственное бессилие. Это то самое противоречие, которое возникает, когда спрашивают: может ли Бог создать камень, который не сможет поднять? Поскольку он либо не может камень создать, либо не может его поднять - значит, он не всемогущ. Но из этого следует не то, что Бог не всемогущ, а то, что мы чего-то в его всемогуществе не понимаем и некорректно ставим вопрос.

Кордонский спрашивает, что же это за высказывание, "которое невозможно ни опровергнуть, ни доказать"? И отвечает: "по строгому математическому Геделю - все что угодно". А если что угодно, то пусть этим высказыванием будет: "наука никогда не сможет доказать, что Бога нет". Откуда делается вывод: "Наука вообще ни хрена не может доказать, а нужна она для того, чтобы тереть хрен на терке и делать людям вкусно покушать, а не лезть в недоказанную душу со своими "объективными истинами".

Это не просто "вульгаризация" или "популяризация". Эти утверждения Кордонского в точности ложны. Гедель никогда ничего подобного не говорил и сказать не мог, поскольку был одним из величайших логиков XX века. Вывод, сделанный Кордонским: если существует одно недоказуемое утверждение, то любое утверждение недоказуемо. Это - такой кульбит, который ставит все с ног на голову, и если в публицистике он и может быть для каких целей применим (впрочем, только для целей обмана), то к математике он не имеет никакого отношения.

И никакого отношения он не имеет к книге Дугласа Хофштадтера, который на протяжении сотен страниц приближается и приближается к доказательству теоремы Геделя о неполноте - и что интересно - кроме неформальных разговоров Ахилла и Черепахи, - это доказательство дает. Хофштадтера интересует именно само доказательство теоремы, а вовсе не те выводы, которые из нее делают профаны. И Хофштадтер приводит то самое суждение, которое недоказуемо (оказывается, оно вовсе не любое, а очень специфичное) - и введением к описанию этого суждения является диалог Ахилла и Черепахи, который и приводит Кордонский в своей статье.

В этом диалоге "Контракростихпункт" - о совершенном фонографе, который почему-то не может проиграть одну (заметьте, одну) определенную мелодию, содержится первый намек на доказательство геделевой теоремы. Вот здесь и нужно спросить, какая это мелодия?

(То, что я скажу дальше, нельзя рассматривать как доказательство, а только как иллюстрацию идеи доказательства. За подробностями можно обратиться и к книге Хофштадтера, и к любому учебнику по логике. Например, во "Введении в математическую логику" Клини есть простое и наглядное описание доказательства.)

Если вы прочтете внимательно этот диалог, то обратите внимание на то, что прежде чем подсунуть этому совершенному проигрывателю пластинку, на которой он сломается, Черепаха предварительно очень внимательно знакомится с его конструкцией. Давайте думать, что проиграть мелодию - значит доказать суждение.

Конструкция самого фонографа, схема его устройства - это тоже суждение. Так вот - этого уже нет в приводимом Кордонским отрывке диалога, но это есть в книге Хофштадтера (в определенном смысле - этому и посвящена вся книга) - пластинка, на которой взрывается фонограф, содержит мелодию, выражающую его же конструкционную схему. Фонограф не может сыграть самого себя.

По-моему, это гораздо поучительнее и глубже, чем выводы Кордонского о науке, трущей хрен на терке.

Книга Хофштадтера посвящена проблеме самопознания во всех возможных постановках вопроса и на всех возможных языках. В предисловии к русскому изданию Хофштадтер пишет: "Можно даже сказать, что книгу, которую вы держите в руках, - русский перевод моей книги "Гедель, Эшер, Бах" - лучше всего охарактеризовать как большой трактат, основная цель которого - раскрыть тайну слова "я". О доказательстве геделевой теоремы Хофштадтер пишет далее: "Эта абстрактная структура, как мне казалось, и была ключом к загадке самопознания и возникновения "я".

Хофштадтер исследует автореферентные суждения - то есть суждения самоссылочные, которые исходят из самих себя и приводят к себе же. (Примером автореферентного суждения является и фонограф, проигрывающий собственную конструкционную схему, и парадокс лжеца: "я лгу".) Хофштадтер находит автореференции в самых разных областях культуры: в музыке Баха, в структуре фуги, в рисунках Эшера, в математике и логике, в лингвистике, в самопроизводстве ДНК... Он пытается исследовать все проявления автореференции, чтобы подобраться к ответу на кантовский вопрос: "как это возможно?". Как человек может думать о себе, как он может себя познавать?

В этом и есть поразительная притягательность этой книги. Вопрос самопознания, вопрос "как я думаю?" не минует ни одного человека.

Если говорить о конце истории (Фрэнсис Фукияма) еще можно, - по крайней мере, настолько, насколько можно говорить о завершении процесса развернутого во времени, то истина - не процесс, и потому "конец истины" - нелепость.

Нет никакого "конца истины". Но если мы, упорствуя в собственных предрассудках ("привычных семантических вывихах"), игнорируем науку, то она отворачивается от нас, оставляя кувыркаться в пустоте - и делать любые выводы, какие нам только заблагорассудится. Но тогда наши выводы уже не имеют к истине никакого отношения.

Эпиграф к статье Владимира Успенского звучит так: "ВЫВИХ ПРИВЫЧНЫЙ (LUXATIO HABITUALIS). Консервативное лечение в большинстве случаев безуспешно. Прогноз сомнительный".

Увы.