Печатается с сокращениями. Целиком текст выйдет в первом (2003) номере журнала "Вопросы философии"

Начало - здесь, продолжение - здесь.

1. По обычному определению, Геометрия есть наука о пространственных величинах.

Наука - это всегда организованная система, охватывающая некоторую сумму коллективного опыта.

Величина есть результат измерения.

Пространство нашей геометрии характеризуется трехмерностью, однородностью, бесконечностью, бесконечной делимостью.

Это характеристика его организационной формы. Его элементы в опыте воспринимаются иннервационным чувством (чувством "усилия").

2. Измерение не есть простое непосредственное количественное сравнение, оно отличается приложением технически специализированной меры.

В элементарном непосредственном сравнении "больше" и "меньше" стоят в ряду всяких сравнительных степеней ("ярче", "теплее", "больнее" и т.д.), ничем существенно из него не выделяясь. Первобытное "больше" - грознее. Только мера и результат ее применения - определенное численное отношение - создают из сравнения измерение.

Мера социально (технически) вырабатывается и социально (идеологически) обусловливается - ее "признанием". Она является прежде всего, как материальное орудие - эталон. "Косы" и "лапоть". "Локоть", "фут" (стопа) и пр. Метр.

Геометрия немыслима без социально-фиксированной, технически точной меры. Ни ее постулаты, ни ее теоремы не могут быть получены без этого, не могут быть "истинными", т.е. иметь реальное значение, быть опорой для практики.

Представление об "абсолютной" геометрии, независимой от коллективного, исторически развивающегося опыта, об "истинности всех теорем даже в мире, лишенном всякой жизни", есть фетишизм, который скрыто вводит вечного и абсолютного измерителя, т.е. божество (которое есть не что иное, как авторитарный символ той же социальной связи).

3. Трехмерность пространства отнюдь не первична. Число направлений, по которым возможно измерять, бесконечно. Сведение их к трем, дальше не сводимым, - результат опыта. Реальное сложение разнонаправленных усилий (или вызываемых ими перемещений) обнаруживает эквивалентную замену двух направлений одним (направление равнодействующей), а следовательно и обратную замену. Только через такую замену бесчисленные направления сводятся к трем, из которых каждое не может быть замещено соединением двух других.

Природа в нашем организме осуществила и предопределила этот анализ посредством трех полукружных каналов внутреннего уха. Но это стало известно весьма недавно. Геометрия же могла исходить только из реально выполняемой технической замены направлений в трудовой ориентации.

Решительную роль в научном фиксировании трехмерности должно было сыграть именно строительное дело, постройка прямоугольных жилищ и ящиков, дающих три координаты в их непосредственно материальном, а это значит - в их первичном виде. Это - миллиарды раз выполненный людьми и квадриллионы раз воспринятый - эталон трехмерной системы координат.

4. Однородность пространства еще менее первична. Она, в сущности, и не могла фиксироваться в мышлении, пока не была практически обнаружена шарообразность Земли и тяготение к ее центру. Поэтому, например, космогония Эпикура могла исходить из падения атомов в абсолютном пространстве: верх и низ в нем еще существовали для Эпикура.

Это - результат технического опыта, количественного различия производительности усилий, направленных вверх, вниз или в сторону.

Эта неоднородность сказывалась в понятиях "вертикали" и "горизонтали", первоначально геометрических, и теперь еще сохраняется в обозначении, даже в геометриях, трех мер пространства, как "высоты", "ширины" и "длины" ("высота" треугольника и его "основание" и т.п.).

Если эта неоднородность специально не фиксировалась античными геометрами, то именно потому, что они всецело отвлекались от опытной основы пространственности - от физического усилия (отвлекались, разумеется, лишь мысленно, т.е. словесно). И характер античной культуры в эпоху расцвета, с ее отношением к физическому труду, достаточно объясняет эту тенденцию, которая из рабовладельчески-интеллигентской геометрии перешла вполне естественно и в буржуазно-интеллигентскую.

5. Бесконечность - также не первичная черта пространства и в научном мышлении. Еще для Аристотеля вселенная была ограниченной и пространство - конечным. Неограниченно развертывающиеся ряды не укладываются в мышление авторитарных эпох с их технической и организационной ограниченностью. Впрочем, античное мышление - не однородное целое.

Только социально-техническая прогрессивность шаг за шагом формирует мышление в смысле неопределенного развертывания, открывая всюду новые и новые горизонты.

6. И бесконечная делимость, по тем же причинам, была чужда даже античному мышлению, особенно в его консервативной стороне. Парадоксы Зенона основаны, по существу, на неспособности мыслить эту бесконечную делимость - непрерывность.

Архимед, по-видимому, силой индивидуального гения дошел до него, но античный мир не воспринял этих его открытий; они прошли так, как если бы их не было: яркая иллюстрация господства сложившихся социальных форм мышления над силами индивидуального творчества.

Мышление бесконечной делимости пространства, как и вообще величины, развилось на основе техники, требовавшей точности и вынужденной учитывать невоспринимаемо малые: техника Нового времени буржуазного мира. Эта техника должна была выдвинуть микроскоп и телескоп, а они разорвали границы сложившегося восприятия и мышления величин. В дальнейшем, в океанических плаваниях эпохи великих открытий неуловимые погрешности направления могли приобретать роковое значение.

7. Геометрический опыт, разумеется, предшествует геометрии - науке его организации.

Можно различать три стороны и, в то же время, фазы геометрического опыта.

a)

Опыт простой координации усилий (линии, углы).

Уже в примитивно-охотничьем быту: роль прямой линии, ломаной, угла, углового

диаметра в непосредственном расчете и ориентировке усилий при перемещениях, преследовании зверей и пр.

Здесь дело идет о простом последовательном сложении усилий. При перемещениях по ровной местности всякое отклонение от "прямого" пути увеличивает затрату усилий: прямая - кратчайшее расстояние. Если видимый (угловой) диаметр предмета уменьшается вдвое, это указывает на двойное расстояние, т.е. двойную сумму последовательных усилий для достижения предмета и т.п.

b) Опыт аналитический.

Уже с началом скотоводства и земледелия [он возникает] как опыт, относящийся к площадям; со строительно-инженерным делом - к площадям и объемам. Это вообще - практические случаи, в которых переменные отношения не сводятся к простой пропорциональности, и в которых, скрыто или явно, приходится учитывать бесконечно малые.

Так, квадратный участок со стороной вдвое большей требует для обработки четверного количества труда; кубическая постройка, при таком же соотношении, - восьмерной суммы усилий на доставку материалов; неуловимое различие в линейных измерениях может быть ощутительно в объемных: линейная сажень проволоки и кубическая сажень железа.

c) Опыт векториальный (сложная координация).

Соединение усилий при необходимости учета их направления: комбинация рабочих сил, в которой они не могут быть приложены вместе по одному направлению, опыт применения всякого рода "машин", начиная с рычага, паруса и пр.

Реально-трудовой "параллелизм" сил, скоростей, перемещений и пр.

Все фазы геометрического опыта переплетаются.

8. Усилие не просто индивидуальное, а социально-необходимое.

В общем, геометрический опыт охватывает пространственную координацию (ориентировку и соразмерение) коллективно-трудовых элементов (усилий, а через них - и вещей).

Астрономия также дает пространственную, а через нее и временную корректировку коллективно-трудовых процессов: мировые координаты, меры времени, точные меры протяжения. Но здесь задача и опыт более специальные: фиксирование основ для такой ориентировки, опорных баз и опорных пунктов для нее. Геометрия же дает координацию на произвольных базах, пластическую, а не фиксирующую.

9. Три фазы геометрического опыта различаются своим организационным типом настолько, что их "аксиомы" взаимно противоречат друг другу.

Для простейшей иллюстрации может служить отношение двух сторон треугольника к третьей.

a) Элементарная геометрия: сумма двух сторон треугольника больше третьей.

b)

Аналитическая геометрия: сумма двух сторон треугольника может быть равна третьей, - когда одна из этих двух бесконечно мала или бесконечно малы два угла.

c) Векториальный анализ: сумма двух сторон треугольника вообще равна третьей.

10. Современная геометрия в своем основном построении, как и в способе изложения, имеет метафизически-схоластический характер.

Ее понятия абсолютны [и] потому в действительности не мыслимы.

Точка, не имеющая измерения; линия, имеющая только одно измерение и пр., чувственно

не могут быть восприняты, следовательно, не могут стать содержанием представления, которое есть след восприятия, а потому - и мышления, которое оперирует с представлениями. Определение этих понятий только словесное. Оперируют же геометры на деле не с ними, а с живыми, реальными представлениями.

Точка есть тело, измерения которого не входят в данный акт исследования, не интересуют в данном случае познание (например, атом, электрон в обычных расчетах физика; Солнце, другие звезды в расчетах звездного распределения и т.п.).

Линия есть тело, в котором для данной задачи интересно только одно измерение (например, луч в элементарных расчетах физика; канат при измерениях глубины и т.д.).

Линию надо считать суммой ее точек, площадь - суммой ее ординат, объем - суммой ординатных площадей. Конечное, т.е. имеющее практическое значение, есть сумма бесконечно малых, т.е. элементов, по отдельности практического значения не имеющих.

"Чистые" постулаты нынешней геометрии относятся к ее абсолютным понятиям и немыслимы вместе с ними.

Вопрос вполне решается уже тем, что постулаты трех фаз геометрии несовместимы между собой.

11. Нынешний способ изложения геометрии, как системы доказательств, оперирующих

формальной логикой, есть ребяческая схоластика - по существу, преступная растрата сил - по результатам.

Недостаточность формальной логики для "доказательства" теперь вещь установленная.

Одного понятия непрерывности уже достаточно, чтобы сделать негодными все схоластические доказательства.

Пуанкаре формулирует идею непрерывности так:

A равно B

B равно C

C больше A.

12. Положительные выводы ясны.

Преобразование геометрии должно вернуть ее к опытной, т.е. коллективно-трудовой основе. Соответственно ей должно быть построено изложение и преподавание, очищенное от "чистых" понятий.

"Доказательства" могут быть сохранены лишь постольку, поскольку они могут оказаться, в иных случаях, мнемонически полезны, или могут служить способами решения задач; а их общие приемы достаточно дать на нескольких иллюстрациях. Реальные измерения и графика сделают наибольшую часть доказательств излишней.

Новое геометрическое мышление будет производительнее.